\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Devoir maison n°6}
\lfoot{}
\cfoot{\'Etudes de fonctions.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°6}
\end{center}
\vspace{30pt}

\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}

\section*{Exercice 1}


On considère la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par :
\[
\forall x \in \R_+^*, \quad f(x) = \dfrac{x \ln(x) -1}{x}
\]

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x >0$, on a 
$$ 
f(x) = \dfrac{x \ln(x)}{x} - \dfrac{1}{x} = \ln(x) - \dfrac{1}{x}
$$
Or, $ \li_{x \tos 0} \ln(x) = - \infty $ et $\li_{x \tos 0} -\dfrac{1}{x} = - \infty$ donc 
\begin{center}
\fbox{$ \li_{x \tos 0} f(x) = - \infty$}
\end{center}
La courbe représentative de $f$ admet une \fbox{asymptote verticale} en $0$. 
\item On a 
\begin{eqnarray*}
f(x)  = \dfrac{x \ln(x) - 1}{x} & = & \dfrac{x\ln(x) \left(1 - \dfrac{1}{x \ln(x)} \right) }{x} \\
& = & \ln(x) \left(1 - \dfrac{1}{x \ln(x)} \right)
\end{eqnarray*}

Or 
$$
\li_{x \to + \infty}  \left(1 - \dfrac{1}{x \ln(x)} \right) = 1, \qquad \li_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty
$$
Ainsi \begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$ }
\end{center}

De même 
\begin{eqnarray*}
\dfrac{f(x)}{x}  =  \dfrac{x \ln(x) - 1}{x^2} 
& = & \dfrac{x\ln(x) \left(1 - \dfrac{1}{x \ln(x)} \right) }{x^2} \\
& = & \dfrac{\ln(x)}{x} \left(1 - \dfrac{1}{x \ln(x)} \right)
\end{eqnarray*}

Or 
$$
\li_{x \to + \infty}  \left(1 - \dfrac{1}{x \ln(x)} \right) = 1, \qquad \li_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \quad (\text{par croissance comparée})
$$
Ainsi \begin{center}
\fbox{$ \li_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0 $  }
\end{center}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R_+^*$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle. Donc, $\forall x > 0$
\begin{eqnarray*}
f'(x) & = & \dfrac{(\ln(x)+1)x - (x\ln(x)-1)}{x^2} \\
& = & \dfrac{x+1}{x^2} > 0
\end{eqnarray*} 

\item On trace les variations de la fonction $f$. 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,Variations de $f$/2}{0,$+\infty$} 
\tkzTabVar{-/$-\infty$, +/$+ \infty$} 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item On applique le théorème de la bijection
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R_+^*$
\item La fonction $f$ est continue sur $\R_+^*$
\item On a $f(1) = -1 < 0$ et $f(e) = \dfrac{e-1}{e} > 0$. 
\end{itemize} 
Donc d'après le théorème de la bijection, \fbox{il existe un unique $\alpha \in [1,e]$ tel que $f(\alpha) = 0$. }
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 : Dénombrement}

Pour son vélo, Paul possède un antivol à code. Le code est une succession de trois chiffres compris entre $0$ et $9$. Il y a donc ordre et remise, on utilise donc les $p$-listes. Soit $E = \entier{0,9}$.
\begin{enumerate}
\item On cherche l'ensemble des 3-listes de $E$. Il y a donc \fbox{$10^3 = 1000$ combinaisons} possibles. 
\item Il n' y a que les 2 derniers chiffres à trouver. On cherche donc l'ensemble des 2-listes de $E$. Il y a donc \fbox{$10^2 = 100$ combinaisons} possibles. 
\item On note $P$ l'ensemble des entiers pairs. L'ensemble des codes se terminant par un chiffre pair est $E \times E \times P$. Ainsi, \fbox{Le nombre de codes possible est $10 \times 10 \times 5 = 500$}.  
\item L'ensemble des codes ne contenant que des chiffres pairs est l'ensemble des 3-liste de $P$. Ainsi, il y a \fbox{$5^3 = 125$ codes possibles} ne contenant que des nombres pairs. 
\item De la même façon, il y a \fbox{125 codes possibles ne contenant que des nombres impairs.} 
\item 
On pose $A=\acc{\text{codes ayant au moins un chiffre pair}}$.

$\bar{A}=\acc{\text{codes n'ayant aucun chiffre pair}}$
et $E=\acc{codes}$.

\begin{center}
\fbox{$Card(A)=Card(E)-Card(\bar{A})
=10^3-5^3$}
\end{center}
\item 
$A=\acc{\text{codes dont le premier chiffre est l'unique chiffre pair}}$ donc $Card(A)=5\times 5\times 5=125$.

Il reste maintenant à choisir la place de ce chiffre pair, soit 3 possibilités d'où \fbox{$3\times 125 = 375$.}
\end{enumerate}

\newpage
\section{Exercice 3 - EMLyon 2011}

On consid\`{e}re la fonction
\begin{equation*}
f:\left] 0;+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto f\left(
x\right) =\left( x+\ln x\right) e^{x-1}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ de $\left] 0;+\infty \right[ ,$ $x>0$ donc $f$ est d\'{e}%
rivable sur $\left] 0;+\infty \right[ $ comme compos\'{e}e et produit de
fonctions d\'{e}rivables et 
\begin{align*}
f^{\prime}\left( x\right) & =\left( 1+\frac{1}{x}\right) e^{x-1}+\left(
x+\ln \left( x\right) \right) e^{x-1} \\
& =\left( 1+\frac{1}{x}+x+\ln \left( x\right) \right) e^{x-1}
\end{align*}

\item Soit $g\left( x\right) =\ln \left( x\right) +\frac{1}{x}$

$g$ est d\'{e}rivable sur $\left] 0,+\infty \right[ $ (car $x>0$ et $x\neq0$
pour tout $x\in \left] 0,+\infty \right[ $ )%
\begin{equation*}
g^{\prime}\left( x\right) =\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x-1}{x^{2}}
\end{equation*}
donc

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,Signe de $x-1$/1.5, Signe de $g'(x)$/1.5, Variation de $g$/2}{0,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,0,+,} 
\tkzTabLine{d,-,0,+,} 
\tkzTabVar{+/, -/1,+/} 
\end{tikzpicture}
\end{center}
et donc $1$ est un minimum de la fonction $g$. 

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\quad
\ln x+\frac{1}{x}>0$}

\item on a donc pour tout $x\in \left] 0,+\infty \right[ $ 
\begin{equation*}
x+\ln x+1+\frac{1}{x}=\left( \ln x+\frac{1}{x}\right) +1+x>0 
\end{equation*}
car $1+x\geq0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$x\in \left] 0,+\infty \right[ \quad x+\ln x+1+%
\frac{1}{x}>0.$}

\item On a donc $f^{\prime}\left( x\right) >0$ sur $\left] 0,+\infty \right[ 
$ \textsl{Conclusion : }\fbox{$f$ est strictement croissante sur $\left]
0,+\infty \right[ $}

\item On cherche la limite de $f$ en $0$. On a $\li_{x \tos 0} (x + \ln(x) = - \infty$ et $\li_{x \tos 0}e^{x-1} = e^{-1}$. Ainsi
\begin{center}
 \fbox{$ \li_{x \tos 0} (x + \ln(x)) e^{x-1} = - \infty$.}
 \end{center} 
On a également

\begin{center}
\fbox{$\li_{x \to + \infty} (x + \ln(x))e^{x-1} = +\infty $}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=8]{$x$/1, Variation de $f$/2}{0,$+\infty$} 
\tkzTabVar{-/$- \infty$,+/$+ \infty$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{1}{1} 
\end{tikzpicture}
\end{center}

et $f^{\prime}\left( 1\right) =3$ pente de la tangente en $1.$

\item On a $ \li_{x \tos 0} f\left( x\right)  = -\infty$ et on a donc une asymptote
verticale

\end{enumerate}

\end{document}